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    Publié : 22 mai 2016

    Thème d’étude : Pajaritas

    Recouvrement d’un espace affine donné, à l’aide de figures ou de motifs identiques, ayant en commun deux à deux uniquement des parties de leurs frontières.

    Larousse

    Mathématiquement c’est un recouvrement complet du plan sans trou ni superposition. Le motif de base s’appelle une "tuile". Le principe est ensuite de recopier la tuile et de la déplacer pour compléter le pavage.

    APMEP

    Pourquoi travailler les pavages ?

    Des pavages partout et à toutes les époques
    Chacun, dans son expérience quotidienne, a croisé des pavages et des frises, naturelles ou artistiques. Travailler sur le thème des pavages permet une entrée culturelle différente de la plupart des objets étudiés par les élèves de nos classes. Ils seront naturellement amenés à « faire des maths » pour comprendre, mais resteront en lien fort avec l’art et l’histoire : un pavage permet l’exercice des mathématiques, y compris à très haut niveau, en restant en lien avec l’humain, le sensible, l’artistique.

    Des entrées diverses pour toucher des profils mentaux différents
    Observer un pavage, pouvoir en décrire certains éléments est accessible et facilité par leur attractivité artistique. Mais pour dépasser la seule perception, il faut comprendre. Le geste mental de compréhension (de cum prehendere, prendre avec soi) consiste à faire sien un objet d’apprentissage, et passe souvent par l’établissement de liens de comparaison, de hiérarchisation. Or les pavages permettent des classifications de multiples ordres, des entrées de natures très diverses : par époque, par type de motif, par source (monde végétal, animal), par des critères mathématiques, etc.
    L’entrée par les mathématiques permet une différenciation importante et des tâches très variées et nombreuses, de l’école primaire à l’enseignement universitaire.

    Un thème transdisciplinaire
    Ce thème, par « son ancienneté, son caractère d’universalité » (C-P Bruter), peut mobiliser les enseignants d’arts plastiques, d’histoire et géographie, de mathématiques, de technologie, de lettres, de langues anciennes, de langues vivantes… On pourra prolonger le travail par l’étude d’œuvres de l’art gothique à l’art contemporain, de travaux tels que ceux d’Escher, la conception de jardins, les sangakus, etc.
    Travailler sur les pavages permet une utilisation enrichissante des nouvelles technologies, par exemple pour visualiser les déplacements des formes pour paver le plan, ou pour en concevoir.

    Le motif de type pajarita

    Pavage de l'Alhambra
    Le mot pajarita peut être traduit par « cocotte en papier ». A Grenade, le motif figure dans l’Alhambra, sur des murs du patio de los Arrayanes.
    La figure de base de la pajarita est le triangle équilatéral.

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    Construction sous GeoGebra

    Exemples d’activités

    Les activités proposées ici sont toutes construites à partir des scénarios d’un document de l’inspection pédagogique régionale de mathématiques de Guyane.

    La première activité est assez détaillée et suivie d’une analyse de sa mis en œuvre (partielle) en classe.
    Les autres activités sont des idées de prolongements, sans détails ni analyse.

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    Activités et commentaires
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    Pavage du plan sous Scratch

    Liens avec les programmes de mathématiques
    Les activités que l’on peut élaborer à partir du motif de la pajarita couvrent un grand nombre de notions au programme, dans le domaine de la géométrie plane, des nombres et calculs, des grandeurs et mesures. On peut tout aussi bien parler de racine carrée, de translation, de proportionnalité, d’angles et de parallélisme qu’installer ou consolider des notions fondamentales comme le cercle, la médiatrice, les unités de mesure. Selon le type d’activité retenue et le public concerné, on peut les aborder à différents niveaux. En tout cas, une très grande partie des programmes de cycles 3 et 4 en géométrie plane peut être abordée par la pajarita.

    Chacune des compétences est également mobilisée au fil de l’étude de la pajarita : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer sont naturellement convoquées au travers du voyage de notre cocotte. Les élèves auront l’occasion de chercher, d’émettre des hypothèses, de confronter leurs idées, de valider ou pas un modèle, pourront s’engager dans l’exercice de démonstration, mesurer, manipuler.

    Ces activités permettront aussi de faire des liens avec l’histoire, l’art, la géographie, d’utiliser différents outils (les outils de construction, des appuis logiciels, etc.).

    Des réalisations d’élèves

    Narrations de recherche, constructions, modélisations, calculs et mesures...

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    Autour de la géométrie
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    Programmes de construction
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    Périmètre de la cocotte
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    Aire de la cocotte
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    Transformations et pavages

    Sources

    • Frises et pavages, comment la nature remplit-elle l’espace ?, C-P Bruter,Journée pédagogique ARPAM, Valenciennes, 5 juin 2002
    • Architectures mathématiques, Matthieu Gaud, APMEP Île de France, 2008
    • L’histoire des arts en mathématiques, Sandrine Ingremeau, Académie de Guyane
    • Site de Thérèse Eveilleau : Maths magiques
    • Introduction aux pavages, Équipe académique mathématique, C. Drouin, Bordeaux, novembre 2002
    • Mathématiques arabes, L’Alhambra et ses pavages, APMEP
    • Sous les pavages… la translation, Daniel Buret, Médialog n°46, mai 2003
    • Quand les zelliges entrent dans la classe… Étude de la symétrie, Marc Moyon, Éditions le Pommier, 2009

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