Comparaison d’aires- Niveau concerné : 4ème et 3ème
- Description rapide : Activité sur la comparaison d’aires d’un triangle et d’un trapèze pour motiver l’utilisation d’une équation (ou d’inéquations suivant le but recherché).
- Auteur(s) : Alexis Lecomte
- Mise en œuvre : durée : 1 heure en classe entière
- Compétences mathématiques mises en œuvre :
- prendre des initiatives, choisir un modèle, émettre une conjecture, expérimenter ;
- raisonner, démontrer, élaborer une démarche ;
- évaluer, critiquer un résultat, vérifier la validité d’un résultat ou d’une méthode ;
- montrer une certaine autonomie dans le traitement de l’information (rechercher, extraire et organiser l’information utile) ;
- développer une démarche connue, mettre en forme un raisonnement ;
- Type de logiciel utilisé ou conseillé : Géoplan
Contenu : Résolution d’équation (voire inéquations pour la 3ème)
Description :
ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 7 cm, AD = 5 cm. On pose BC = x cm. E est un point de la demi-droite [BC) tel que CE = 4x. On appelle A1 l’aire du trapèze ABCD et A2 l’aire du triangle DCE.
Pour quelle valeur de x a-t-on A1 = A2 ?
Pour quelles valeurs de x a-t-on A1 < A2 ? (si on veut travailler sur les inéquations)
Pour quelles valeurs de x a-t-on A1 > A2 ? (si on veut travailler sur les inéquations)
Commentaires :
Les constantes ont été choisies de telle sorte que la solution ne soit pas un nombre décimal (17,5/10,5). Ainsi l’utilisation de Géoplan permet de trouver une valeur approchée de la solution mais ne résout pas le problème et justifie ainsi l’utilisation du calcul littéral.
A propos du fichier Géoplan, on peut modifier la valeur de x à l’aide des flèches du clavier. On peut modifier le nombre de décimales affichées à l’aide de la commande ’Piloter, Affecter une variable numérique libre’. On remplit alors le champ suivant :
Nom de la variable : z. Valeur attribuée : 4, 5 ou plus si souhaité (la valeur initiale étant 3 ; si on demande une ou deux décimales, les erreurs d’arrondis font croire que l’on trouve la solution…)
Déroulement de l’activité :
On présente le problème aux élèves en traçant la figure au tableau et en leur demandant de la reproduire sur leur cahier. On projette en même temps le fichier Géoplan correspondant et on demande à un élève de déplacer le point C (éventuellement au clavier) afin de trouver la solution. On fait remarquer aux élèves que l’on a un encadrement apparent de la solution sans en avoir la valeur exacte. Si les élèves le proposent, on peut augmenter le nombre de décimales affichées. On passe alors à la résolution, permettant de revoir la formule de l’aire du triangle et de travailler sur l’aire du trapèze rectangle.
Place dans la progression :
En classe de quatrième, cette activité peut être utilisée comme introduction au chapitre sur les équations. Une fois établie la nécessité de résoudre une équation, on passe au cours correspondant. Lorsque les élèves maitrîsent les techniques de résolution, on peut résoudre le problème.
En classe de troisième, cette activité peut être utilisée pour réviser les techniques de résolution d’équations vues en quatrième et rappeler leur utilité. Elle peut également être (ré)utilisée pour les inéquations.
